MATEMÁTICAS

by | May 29, 2017

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MATEMÁTICAS

NÚMEROS REALES
Recta numérica Durante el video, recordamos el uso de la recta numérica, en la cual podemos representar cualquier número del campo de los reales Números naturales  Los números naturales son aquellos que se utilizaban antes de la invención del número cero. Se le llama naturales, ya que son solamente los enteros que se pueden tener [...]
SUMA Y RESTA
Sumas y restas como saltos. Durante el video, aprendimos que es posible representar las sumas y restas cómo saltos en la recta numérica. Las sumas como saltos a la derecha y restas como saltos a la izquierda. Esta representación puede ser de gran utilidad en los casos cuando el número negativo sea más grande que [...]
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN
Distintas formas de representar una multiplicación. Existen distintas formas de representar una multiplicación. Si bien en años escolares anteriores, la multiplicación estaba representada por el símbolo × (por), es más usual encontrar la multiplicación expresada en paréntesis. Por ejemplo, 3×2 ahora lo expresaríamos como 3(2) o también mediante puntos medios o asteriscos 3•2. Propiedad conmutativa, [...]
DIVISIÓN DE NÚMEROS REALES
Distintas formas de representar una multiplicación. Existen distintas formas de representar una multiplicación. Si bien en años escolares anteriores, la multiplicación estaba representada por el símbolo × (por), es más usual encontrar la multiplicación expresada en paréntesis. Por ejemplo, 3×2 ahora lo expresaríamos como 3(2) o también mediante puntos medios o asteriscos 3•2. Propiedad conmutativa, [...]
FRACCIONES
Sumas y restas Si bien existen muchos métodos para sumar y restar fracciones, recordaremos el método básico de suma y resta de fracciones con diferente denominador. Primero, multiplicaremos extremos (A por D) y lo escribiremos en la parte superior. Luego el otro extremo (B por C). Finalmente, los denominadores se multiplican y se colocan como [...]
NÚMEROS COMPLEJOS
Números complejos Los números complejos o imaginarios, propuestos originalmente por Carl Friedrich Gauss, son números que integran un nuevo elemento: . Debido a que dicha raíz no tiene un número real cómo solución, Gauss integró un eje perpendicular a la recta numérica, creando así el plano complejo. Operaciones con el número i El número i [...]
LITERALES
SUMA Y RESTA DE TÉRMINOS ALGEBRAICOS
Términos semejantes En la lección pasada reconocimos el número de términos en una expresión algebraica. Ahora, es posible simplificar estas expresiones mediante operaciones de términos semejantes. Los términos semejantes son aquellos que tienen la misma base y mismo exponente. Cuando esto sucede es posible realizar las sumas y restas correspondientes de los coeficientes de los [...]
POTENCIAS Y RADICALES
MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS Y POLINOMIOS
Multiplicación de un monomio por un polinomio Para la multiplicación de un monomio por un polinomio simplemente utilizamos la propiedad distributiva (video 3) la cual indica que, si un término multiplica a una suma de elementos, éste multiplicará a cada uno de los sumandos, multiplicando números con números y letras con letras, y respetando las [...]
DIVISIÓN DE POLINOMIOS
División de polinomios La división algebraica es la operación que consiste en hallar uno de los factores de un producto. El producto recibe el nombre de cociente dado el otro factor (divisor) y el producto de ambos factores llamado dividendo. Si el residuo no fuera igual a cero, entonces: El ejemplo anterior resulta muy sencillo [...]
PRODUCTOS NOTABLES
Se llama productos notables a ciertos productos (multiplicaciones) que cumplen reglas fijas y cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, es decir, sin verificar la multiplicación. Por ello, los productos notables pueden optimizar el número de operaciones algebraicas realizadas cuando se logra identificar que el tipo de operaciones pertenece a las siguientes reglas: El [...]
FACTORIZACIÓN
Factorización El producto inverso de la multiplicación de polinomios se denomina factorización. Por ejemplo, x2(3x+1) al multiplicar se obtiene 3x3+x2. Si quisiéramos obtener los factores que componen a la expresión 3x3+x2 ­tendríamos que hacer el proceso inverso: la factorización. Con ello, encontraríamos que los factores que la componen son x2(3x+1). Factorización por factor común. El [...]
FRACCIONES ALGEBRAICAS
Eliminación o cancelación de elementos. Seguramente en ocasiones anteriores has visto cómo se ‘cancelan’ los elementos de una división. En realidad, lo que sucede en una cancelación es que dos elementos iguales se dividen y la división de un número entre sí mismo es 1. El número 1, por cierto, es el elemento neutro de [...]
ECUACIONES
Ecuaciones. El termino ecuación significa igualdad. Una ecuación son todas aquellas expresiones matemáticas que contengan un signo =. Las ecuaciones pueden ser verdaderas o falsas, y abiertas o cerradas. Operaciones con ecuaciones. Las ecuaciones pueden ser operadas con la condición única que la igualdad debe permanecer. En el caso 3+2=5 la relación es sencilla y [...]
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
Ecuación de segundo grado. Las ecuaciones de segundo grado tienen la forma Ax2+Bx+C=0 donde A, B y C son números reales. Esta ecuación puede tener hasta dos soluciones distintas y se pueden obtener estas soluciones mediante la fórmula general de segundo grado: El signo ± indica que la operación se realiza dos veces, una con [...]
SISTEMAS DE ECUACIONES
Sistemas de ecuaciones. Hasta ahora, hemos visto las ecuaciones de primer grado con una sola incógnita (variable que no conocemos su valor). Cuando tenemos ecuaciones con más de una incógnita, debemos saber que es posible encontrar una solución siempre y cuando tengamos el mismo número de ecuaciones que el número de incógnitas. En las expresiones [...]
SISTEMAS DE ECUACIONES 3×3
Determinante 3x3. En un sistema de ecuaciones de de tres incógnitas o 3x3, el método de Cramer no cambia. Sin embargo, lo que cambia es el cálculo del determinante de una matriz 3x3. Veamos por ejemplo. Utilizando la notación matricial se puede expresar como: Como lo vimos en la sesión anterior, el determinante del sistema [...]
DESIGUALDADES O INECUACIONES
Desigualdades Si bien en temas anteriores vimos que las variables en ecuaciones tienen ciertos valores específicos para hacer de ella verdaderos, en las desigualdades veremos que los resultados son en realidad infinitos valores o un rango de soluciones. Por ejemplo, en la desigualdad x>2 lo que expresa ésta son todos los valores mayores a 2, [...]
FUNCIONES
Funciones En matemáticas, una función (f) es una relación entre un conjunto dado X (llamado dominio) y otro conjunto de elementos Y (llamado contradominio) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento f(x) o y. En lenguaje más simple, diremos que las funciones matemáticas equivalen al proceso lógico común [...]
GRADOS Y RADIANES
Grados y radianes En matemáticas y física se utiliza comúnmente los radianes para medir ángulos al igual que los grados. Los radianes, son muy útiles al medir circunferencias o arcos de circunferencias, aunque también se utiliza para ángulos de otras figuras. El ángulo de una circunferencia completa equivale a 2π radios. Por lo que 360°=2π [...]
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
Razones trigonométricas. Las razones trigonométricas son divisiones obtenidas a partir de los lados de un triángulo. Dónde el ángulo B tiene como lados el cateto opuesto ‘b’, el cateto contiguo o adyacente ‘c’ y la hipotenusa ‘a’. A partir de los cuales obtendremos las siguientes razones. Seno El seno del ángulo B es la razón entre el cateto [...]
CIRCULO TRIGONOMÉTRICO
La circunferencia trigonométrica se le llama a aquélla que tiene su centro en el origen de coordenadas [0,0] y su radio es la unidad (1). En la circunferencia trigonométrica, los ejes de coordenadas delimitan cuatro cuadrantes que se numeran en sentido contrario a las agujas del reloj. Cada punto de la circunferencia es posible expresarla [...]
FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LOGARITMOS
Funciones exponenciales Las funciones exponenciales se denominan a aquellas que tienen como base una constante y como potencia una variable. Como la variación de la función se encuentra en una potencia, ésta crece rápidamente. Algunos ejemplos de funciones exponenciales son: Funciones logarítmicas Los logaritmos son las operaciones inversas de la exponenciación. Por lo que, su [...]
RECTA
La línea recta es la primera de muchas figuras estudiadas en el apartado de “geometría analítica”. Es posible identificar las características de la línea, cómo por ejemplo, la distancia de dos puntos cualesquiera de una recta, su pendiente (o inclinación) o compararla con otras rectas para saber si son paralelas o perpendiculares. Distancia entre dos [...]
CIRCUNFERENCIA
La circunferencia es la curva que todos sus puntos tienen la misma distancia a un solo punto llamado centro. La circunferencia puede ubicarse en el plano cartesiano por medio del teorema de Pitágoras. Esta ecuación es válida siempre y cuando la circunferencia se encuentre con centro en el origen, es decir, la coordenada (0,0). En [...]
PARÁBOLAS
La parábola es una curva de segundo grado y pertenece a un grupo de curvas especiales denominadas cónicas, que fueron estudiadas por los griegos y retomadas por Kepler y Newton quince siglos más tarde. Podemos encontrar la parábola en las curvas descritas por las órbitas abiertas de los cometas o en las antenas parabólicas que [...]
ELIPSE
La elipse es la curva que tiene como propiedad que la distancia de sus dos focos a cualquier punto de la elipse es constante. Al lado mayor de la elipse se le denomina A y al menor B. La distancia del centro de la elipse al lado mayor y menor forman un triángulo rectángulo como [...]
FIGURAS CÓNICAS: HIPÉRBOLA
La hipérbola es la última de las cónicas. Cuenta con dos focos y dos vértices, con ambas curvas simétricas extendidas a lo largo de dos asíntotas (líneas rectas imaginarias que nunca tocan a la hipérbola). La ecuación de la hipérbola se diferencia de la elipse por ser una resta: Si el parámetro a>b las hipérbolas [...]
ECUACIÓN GENERAL DE SEGUNDO GRADO
La ecuación general de segundo grado es aquella que no se encuentra en alguna de las formas canónicas de las cónicas (parábola, elipse, hipérbola o circunferencia). Sino en su forma expandida o explícita. Donde A, B, C, D, E y F son coeficientes constantes. Esta ecuación nos permite identificar el tipo de curva que describe [...]
LÍMITES
Una función no siempre es continua o está definida en todos sus puntos. Por ejemplo en los siguientes gráficos La función f(x) es continua hasta llegar a x0, luego de ello se tiene una discontinuidad. El valor de la función evaluada en x0 dependerá del lado por el cual nos acerquemos a calcular su valor. [...]
LÍMITES INDETERMINADOS
Algunas de las fórmulas que necesitamos conocer para resolver límites indeterminados son los siguientes: Los siguientes límites tienen una indeterminación que es necesario eliminar mediante métodos algebraicos. Para las indeterminaciones de 0/0, el primer método que podemos utilizar es el de la factorización ya sea por factor común o por producto notable. Por ejemplo: Para [...]
DERIVADAS
Las derivadas son parte del cálculo inventado por Newton y Leibniz. La derivada sirve para calcular los ritmos de cambio o razón de cambio de las funciones. La interpretación gráfica de la derivada consiste en la pendiente de la recta tangente de una función, es decir, ‘que tan inclinada se encuentra una función en un [...]
DERIVADAS 2
Existen funciones dentro de otras funciones llamadas funciones compuestas. Éstas se pueden derivar mediante la regla de la cadena. Esta regla básicamente dice que, si se tiene una función F(V) y una V(x) para poder obtener la derivada de F(x) se deriva dF/dV para luego multiplicarla por dV/dx. En palabras sencillas, en una función compuesta [...]
POSICIÓN, VELOCIDAD Y ACELERACIÓN
Una de las aplicaciones más comunes de la derivada es en física, en los conceptos de velocidad y aceleración. La velocidad se define como el cambio de la posición con respecto del tiempo, es decir,  . La aceleración se define como el cambio de la velocidad con respecto del tiempo, esto es:  . Recordando el [...]
DERIVADAS: MÁXIMOS Y MÍNIMOS
El cálculo diferencial también nos permite conocer los máximos y mínimos locales de una función. Como vimos anteriormente, la derivada es la pendiente de una función en un punto dado. Si queremos encontrar los puntos máximos y mínimos, deberemos buscar aquellos puntos donde la inclinación o pendiente es igual a cero. Como podemos observar en [...]
CÁLCULO INTEGRAL
Además del cálculo diferencial, existe una operación más dentro de los descubrimientos de Newton y Leibniz, las integrales. La integral originalmente se creó con la finalidad de calcular las áreas y volúmenes de curvas irregulares por medio de la suma de áreas infinitesimalmente pequeñas, por ello el símbolo de la integral es una letra S [...]
FORMULAS DE INTEGRACIÓN
Si bien, las integrales son anti-derivadas, no siempre es necesario encontrar la función primitiva de manera manual. Existen fórmulas que nos ayudarán a resolver la mayoría de las integrales. Al igual que en la derivación veremos que hay integrales directas y no requieren de nada más que aplicar directamente la fórmula. Ejemplo: Aunque también hay [...]
INTEGRACIÓN POR PARTES
Existen integrales que no tienen una integral directa ya que se componen de dos funciones distintas. Para ellas, existe el método de integración por partes. Es un método que, bien utilizado, nos ayuda a reducir la complejidad de la integral para así, poder resolverla. La integral por partes es la siguiente: Esta fórmula supone que [...]
INTEGRALES DEFINIDAS
Anteriormente, vimos el teorema fundamental del cálculo. Este teorema afirmaba que la integral además de ser una anti-derivada, es el área bajo la curva de la función en un rango dado. A esa clase de integrales se les denomina integral definida y tiene la notación. Y es el área bajo la curva de la función [...]